Реальные задачи в математике: формирование и развитие интереса к предмету в средней и старшей школе

В последние годы в перечень задач ОГЭ и ЕГЭ были введены задачи математики, связанные с жизнью. Это так называемая «реальная математика». В нее входят задачи, описывающие реальные ситуации, порой граничащие с экономическими расчетами, а также связанные с другими науками в основном с науками естественно-научного профиля. Математика развивает логику и ум постепенно становится гибким, а это очень нужно в дальнейшем для человека в социуме для принятия важных решений для людей любого ранга, в особенности для руководящих работников. Это могут быть бытовые вопросы, которые также требуют принятия правильного решения, до задач государственного масштаба.

Бизнес – это высокоупорядоченная система, построение которой требует от ее создателя определенных интеллектуальных навыков, определенного типа мышления, умения обобщать, в первую очередь, и выводить взаимосвязи, во- вторую. Поэтому в современном мире без поддержки в виде математических методов прогнозирования, моделирования и анализа, успеха в собственном предприятии достичь сложно.

Математика позволяет развить важные умственные качества: это аналитические и дедуктивные способности (умение обобщать), критические, прогностические (умение прогнозировать, мыслить на несколько шагов вперед) способности. Также эта дисциплина улучшает возможности абстрактного мышления (ведь это абстрактная наука), способность концентрироваться, тренирует память и усиливает быстроту мышления. Вырабатывает умение обобщать. Рассматривает частное событие в качестве проявления события общего порядка. Способность к анализу сложных жизненных ситуаций, возможность принимать правильное решение проблем и определяться в условиях трудного выбора. Умение находить закономерности и зависимости между разными явлениями. Умение логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли, делать верные логические выводы. Способность быстро думать, анализировать и принимать решения.

Поэтому введение реальных практических задач из жизни очень полезно, так как хорошо сказывается на развитии мировоззрения и понимания того, как  математика применяет свой аппарат формул, законов, правил и что это наука, не замкнутая на собственных абстрактных категориях, а наука, дарящая свой математический аппарат для проведения расчетов и оценок полученных значений тех или иных величин. Другими словами, можно сделать вывод, что без математики любой вид деятельности из какой-либо другой сферы начнёт «пробуксовывать».

Современному учителю сегодня, на основании вышесказанного, нужно стараться решать больше таких практико-ориентированных задач на уроке и задавать на дом. Это поможет показать множественность решаемых в математике видов задач, а также вызовет или усилит живой интерес к предмету. Ведь не секрет, что очень много скептически настроенной молодежи, которые считают, что эти знания математики в школе им в жизни не пригодятся. А если школьника заинтересовать, он начнет лучше учиться, самостоятельно начнет искать дополнительные материалы, больше читать книг, расширять свой кругозор, активнее участвовать в разных формах внеурочной деятельности. Главное для учителя – поддержать их любознательность и активность.

Для решения этой задачи нужны определенные формы обучения и подбор интересных задач. Здесь может быть использовано применение проблемного метода преподавания, а также метод «мозгового штурма», где каждый из обучаемых может предложить свой алгоритм решения поставленной проблемы.

 

Среди форм обучения математике, направленных на практическую реальную математику (см. рис. 1) наиболее подходят практикум и деловая игра из данного перечня форм обучения, но конечно таких форм намного больше. Что касается форм контроля (см. рис. 2), конечно такие задачи надо добавлять в контрольные и самостоятельные работы, готовить и защищать рефераты. Очень результативный вид — это проектная деятельность и участие с проектом на конференции с решением той или иной практической задачи. Естественно, это под силу не всем школьникам, а тем, у кого есть четкое представление задачи, ее входных данных и выходных значений. Также это в особенности те школьники, кто умеет оформить результаты своих расчетов и владеет средствами информационных технологий, умеет делать презентации, работать на хорошем уровне с офисными программами.

Реальные задачи встречаются в задачниках и сборниках ОГЭ и ЕГЭ очень часто, в средней школе они часто встречаются в сборниках для ВПР. Уже появились сборники финансовых задач для школьников. Авторы учебников и сборников ОГЭ/ЕГЭ также быстро реагируют на изменения в экономическом и других секторах экономики и стараются создать множество новых реальных задач. 

До появления этих государственных экзаменов ничего подобного не было, а теперь у многих авторов учебников по математике, алгебре, геометрии появились дополнительные задачи прикладного характера на реальные ситуации из жизни. Это, например, автор Ткачева М.В., учебник «Математика» 5 класс. Такая же тенденция в появлении новых типов задач по экономике во второй части ЕГЭ профильного типа.

 

 

 

 

Задачи на логику также крайне полезны (см. рис. 5). Когда несколько вариантов просчитываются школьником и находится оптимальный вариант решения, то не только логическое мышление развивается, но и складывается алгоритм, основанный на экономности ресурсов или денежных средств. Раньше, когда я училась в школе, на уроках математики и других уроках постоянно заострялась тема бережного и рачительного отношения к природным богатствам. Ведь обучение должно не только наполнять обучающегося знаниями, но и воспитывать. В последнее время коллеги стали на этот компонент перестали обращать внимание. 

 

Так вот, я остановилась на том, что в сами учебники после каждой главы или раздела, а иногда и в сам параграф авторы стали добавлять исторический материал, дополнительные задачи прикладного характера. Но среди них встречаются и старинные задачи. Что они собой представляют? Это задачи, которые знакомят школьников с историей древнейшей математики, они позволят расширить кругозор своих знаний и узнать об исторических событиях в математике. Это очень важно, так как нет в школе такого специального предмета об истории развития науки, а было бы интересно ребятам узнать много нового из истории не только государств, но и научных открытий.

Такого рода задачи при нехватке времени на уроке я обычно разбираю на дополнительных занятиях либо их также можно задать как небольшой реферат с последующим оформлением и защитой на уроке. Также их можно в игровой форме решать на месячниках или неделях математики, олимпиадах и любых других внеурочных мероприятиях. Такие вот занимательные задачи нужно стараться вплетать в урок и внеурочные занятия, тогда интерес к математике появится даже у тех, кто ее раньше не понимал. Чтобы справиться с ними, надо проявить сообразительность, смекалку, так как обычных методов тут может и не хватить. Необходимы настойчивость и целеустремленность, без этих качеств нельзя добиться успеха в любом деле, не только в математике. А многим школьникам этих качеств не хватает, эти же задачи многие начинают решать из интереса, вот тут-то им далеко не с первого раза удается решить. Вот и развивается в них упорность и настойчивость, если конечно это не разово происходит. 

Для самого учителя решение и собирательство таких задач крайне полезно по причинам:

– самообразование (добавлены в багаж учителя новые знания);

– формирование банка задач для дальнейшего использования на различных предметных мероприятиях;

– мало литературы и в основном это книги прошлого века, когда люди с усердием собирали такие задачи и подробно решали, разбирали их, потому что не всегда условие и ход решения могут без дополнительных консультаций быть решены самим учителем. 

Приведу пример решения такой задачи. 

Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он и того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а чёрное – 3 руб.? 

Решение задачи в старину. Если бы купец приобрёл сукно одного типа, например, синее, то он заплатил бы 138*5 = 690 руб. Образовавшаяся разность в 150 руб. получена за счёт того, что чёрное сукно повышено в цене на 2 руб. Значит, чёрного сукна было 150:2 = 75 аршин, а синего было 138-75 = 63 аршина. Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин.

Очень интересны задачи на применение признаков делимости (на вычисление НОК). Вот несколько из них, которые можно решить в 5-7 классах.

Например:

1.Задача «Сколько яиц в лукошке?» (из старинных рукописей). 

Пришел крестьянин на базар и принёс лукошко яиц. Торговцы его спрашивают: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, и одно лишнее осталось на земле, и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 4 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 5 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 6 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочтите мне, сколько в том лукошке яиц было?» 

Решение: 

НОК (2, 3, 4, 5, 6) = 60; 60·2+1=121 (не делится на 7), 60·3+1= 181 (не делится на7) …. 60·5+1=301 делится на 7.

2) Задача «Угадайте число!» (из старинных рукописей). 

Угадайте число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, от деления на 3 даёт в остатке 2, от деления на 4 даёт в остатке3, от деления на 5 даёт в остатке 4, от деления на 6 даёт в остатке 5, а на 7 – делится без остатка. 

Решение: НОК (2, 3, 4, 5, 6) = 60, 60 – 1 = 59 – не делится на 7, 60 *2 -1 =119 делится на 7. Ответ: 119.

В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречаются много интересных задач на дроби. Решение каждой из таких задач требует смекалки, сообразительности и умения рассуждать. 

 

Рассмотрим несколько таких задач.

 1

Путник, догнав другого, спросил его: «Далеко ли до деревни, которая впереди?» Другой путник ответил: «Расстояние от деревни, из которой ты идёшь, равно трети всего расстояния меду деревнями. А если пройдёшь ещё две версты, будешь ровно посередине между деревнями. Сколько вёрст осталось идти первому путнику?

Решение: 

2 версты, которые нужно пройти до середины — 1/6 всего расстояния до деревни.  

1) 2*6=12(вёрст) — всё расстояние  

2) 12*1/3=4(версты) — прошёл путник 

3) 12-4=8 (вёрст) — осталось  пройти                                        

Ответ: 8 вёрст.        

2  

Из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 лет до н.э.).

Пришел пастух с 70 быками. Его спросили: 

— Сколько приводишь ты из своего стада?   

Пастух  ответил: 

— Я привожу 2/3 от 1/3 скота. Сочти, сколько быков в стаде?

Решение: 70 быков составляют 2/3 от 1/3                             

1) 2/3*1/3=2/9 составляют 70 быков.     

2) 70:2/9= 315(быков) составляют стадо.            

Ответ: 315 быков

3   

Китай, II век н.э.

Дикая утка от Южного моря до Северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от Северного моя до Южного моря летит 9 дней. Теперь утка и гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение: утка    7 дн. 9 раз —  63 дня, гусь   9 дн.  7 раз — 63 дня                       

1)7+9=16 раз                      

2) 63:16= 3 15/16 (дней)    

1) 1:7=1/7 пути утка 1 д.   

2) 1:9=1/9 пути гусь 1 д.    

3) 1/7+1/9=16/63 вместе 

4)  1:16/63=3 15/16 дней                             Ответ: через 3 15/16 дней.

4  

Из книги «Косс» Адама Ризе (XVI век)

 Трое выиграли некоторую сумму денег. На дою первого пришлось ¼ этой суммы, на долю второго -1/7, а долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

Решение:    

Пусть выигрыш принят за  1.         

1) ¼+1/7=11/28(ч.)  выиграли двое                  

2)1-11/28=17/28(ч.)  выиграл третий 

3)17/28=11/28  —  17 флоринов – это  11/28 часть

4)17:17*28=28 (флор.) 

Ответ: 28 флоринов весь выигрыш.

Сравнивая старинные и современные способы решения старинных задач, можно сделать следующие выводы: 

1. В старые времена вначале делали предположение от противного (как мы часто доказываем теоремы), т.е. решали задачи по «правилу ложного положения». Такой способ требовал большей сообразительности, поэтому решать задачи могли не все, а лишь некоторые мудрецы. 

2. Условие задачи люди научились записывать в виде формул, уравнений, систем уравнений, что намного облегчило их решение. 

3. Трудности возникают в любых текстовых задачах только при составлении уравнений. Решить же уравнение (в основном, линейное или квадратное) и систему уравнений может почти каждый современный школьник 7-8 класса. 

Школьникам же можно предложить рекомендации при решении задач такого рода: 

1. Установить связи между величинами или показать, что их нет.

 2. Выразить одну величину через другую или через несколько величин.

3. Выяснить, не являются ли одни величины функциями других, т.е. нельзя ли выразить одну величину через другую.

 

  

 

Заключение

1. Задачи с прикладным содержанием в курсе математики (5-9 класс)  помогают современному школьнику разобраться в этом сложном предмете школьной программы и могут помочь заинтересовать даже самого скептически настроенного или слабого школьника. Реальные задачи он может себе представить, так как он с ними реально встречался в жизни или может встретиться. По этой причине они понятнее других, абстрактных задач, и их хочется решить.
2.  Они нестандартны, вызывают особый интерес у подростка, так как связаны с различными областями человеческой деятельности, поэтому роль учителя состоит в том, чтобы доступно и понятно объяснить способы их решения.
3.  Методы обучения, которые можно применить для математических реальных задач: проблемное изложение (рассуждающий, диалогический метод изложения), частично-поисковый (см. рис.7).
4.  Решение такого рода задач обогащает знаниями из истории математики и других наук, знакомит с другими альтернативными мерами веса, длины и др.
5.  Введение в процесс преподавания таких задач готовит будущего выпускника к реальной жизни.
6.  Решение задач анализа помогает выработать гибкость ума и умение принимать решение в различных нестандартных ситуациях.
7. Учителю необходимо собирать и накапливать такие задачи реальной математики, т.к. в приложении к параграфам их не так уж много, книг также поэтому надо вести учет таких задач. Но их нужно не только собирать, но и активно использовать на уроках и внеклассных мероприятиях.
8. Конечно же полезны задания с графиками, чтение графиков пригодится в дальнейшем обучении в вузе, а также на уроках физики, астрономии. Например, такая задача о зависимости подъёмной силе от скорости из курса физики. Здесь ученик ищет на оси 200 км/ч и 400 км/ч и соответствующие им точки на графике, определяет подъемную силу в каждом случае, а потом из большего значения вычитает меньшее. Здесь приведены различные задания, связанные с чтением графиков или диаграммы(см. рис.8А,Б,В). Видно, что они могут быть предназначены на нахождение конкретного значения или для анализа конкретной ситуации, что также важно для выработки логического склада ума 

Примеры задач на чтение или анализ графика(диаграммы): 

 

  

На графике представлена динамика изменения курса доллара США в рублю за период с 19 ноября по 19 декабря. По горизонтальной оси отложены даты, по вертикальной — значения доллара США. Шаг по вертикальной оси равен 0,0372 руб. Определите по графику, каким был курс доллара США к рублю 21 ноября.

  

      Использованная литература:  

1. Комиссаров, М. Л. Роль математики в нашей жизни / М. Л. Комиссаров, Н. П. Комкова.// Юный ученый. — 2020. — № 2 (32). С. 35-38. — URL: https://moluch.ru/young/archive/32/1856/
2. Джанабердиева С.А. ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 3-1. – С. 92-96; URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4757
3. Сборник математических задач «Основы финансовой грамотности». – В трех томах. Т. 2. Для 5–9-х классов / составители: Н.П. Моторо, Н.В. Новожилова, М.М. Шалашова. – Москва, 2019. – 54 с.
4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М. ,1980
5. Депман И..Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.:Просвещение, 1989.
6. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.
7. Ляшко В.А. Решение старинных задач // URL: https://school-science.ru/11/7/46362
8.  Математика без скуки. Старинные задачи // URL: https://www.sites.google.com/site/matematikabezskuki/starinnye-zadaci

 

________________________

© Нельзина Ольга Геннадьевна